Calculadora de Bhaskara — Equação do 2º Grau
Resolva ax² + bx + c = 0 com delta, raízes e vértice da parábola.
Seus dados
O número que multiplica x². Não pode ser zero.
O número que multiplica x.
O termo independente.
As raízes são 3 e 2 — os dois pontos onde a parábola cruza o eixo x. A soma delas é 5 e o produto, 6.
Memória de cálculo
Δ = b² − 4ac · x = (−b ± √Δ) ÷ 2a
- 1Identificar os coeficientesa = 1, b = -5, c = 6
- 2Calcular o delta(-5)² − 4 × 1 × 6 = 1
- 3Raiz quadrada do delta√1 = 1
- 4Primeira raiz (com o sinal +)(−(-5) + 1) ÷ (2 × 1) = 3
- 5Segunda raiz (com o sinal −)(−(-5) − 1) ÷ (2 × 1) = 2
As relações de Girard permitem conferir o resultado: a soma das raízes é −b/a e o produto é c/a. Se o resultado não bater, há erro em algum passo.
Como calcular a equação do 2º grau passo a passo
- 1
Identifique os coeficientes
Na equação ax² + bx + c = 0, o a acompanha o x², o b acompanha o x e o c é o termo sozinho.
- 2
Calcule o delta
Δ = b² − 4ac. Ele determina quantas raízes reais a equação tem.
- 3
Aplique a fórmula
x = (−b ± √Δ) ÷ 2a. O sinal de mais dá uma raiz, o de menos dá a outra.
- 4
Confira pelas relações de Girard
A soma das raízes deve dar −b/a e o produto, c/a.
O que o delta revela
O discriminante — o delta — decide o destino da equação antes mesmo de calcular as raízes. Ele é a parte que fica dentro da raiz quadrada na fórmula.
Se for positivo, a raiz quadrada existe e produz dois valores distintos: a parábola cruza o eixo x em dois pontos. Se for zero, os dois resultados coincidem e a parábola apenas toca o eixo. Se for negativo, não há raiz quadrada real e a parábola nunca cruza o eixo x.
- Δ > 0: duas raízes reais e diferentes
- Δ = 0: uma raiz real (dupla)
- Δ < 0: nenhuma raiz real
A parábola por trás da equação
Toda equação do 2º grau descreve uma parábola. As raízes são exatamente os pontos onde essa curva corta o eixo horizontal.
O sinal do coeficiente a define a concavidade: positivo abre para cima e a curva tem um ponto de mínimo; negativo abre para baixo e tem um ponto de máximo. Esse ponto é o vértice, que a calculadora também mostra.
Onde o vértice importa
Muitos problemas práticos não pedem as raízes, e sim o vértice: qual preço maximiza o lucro, qual altura máxima o projétil atinge, qual o custo mínimo de produção.
As coordenadas do vértice são x = −b/2a e y = −Δ/4a. O x do vértice fica sempre no meio das duas raízes, quando elas existem.
Conferindo o resultado sem refazer a conta
As relações de Girard oferecem uma verificação rápida: a soma das raízes é sempre −b/a e o produto é sempre c/a.
Na equação x² − 5x + 6 = 0, as raízes 3 e 2 somam 5 (que é −(−5)/1) e multiplicam 6 (que é 6/1). Se a conferência falhar, há erro em algum passo.
Casos que dispensam Bhaskara
Quando b é zero, como em x² − 9 = 0, basta isolar o x e extrair a raiz: x = ±3. Quando c é zero, como em x² − 5x = 0, dá para colocar x em evidência: x(x − 5) = 0, então x = 0 ou x = 5.
Bhaskara funciona em todos os casos, mas nesses dois o caminho direto é bem mais rápido.
Exemplos resolvidos
| Equação | Delta | Raízes |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | 3 e 2 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 0 | 2 (raiz dupla) |
| x² + x + 1 = 0 | −3 | sem raiz real |
| 2x² − 8 = 0 | 64 | 2 e −2 |
| x² − 5x = 0 | 25 | 5 e 0 |
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula de Bhaskara?
x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, onde Δ = b² − 4ac. Primeiro calcula-se o delta, depois aplicam-se os sinais de mais e menos para obter as duas raízes.
O que significa delta negativo?
Que a equação não tem raízes reais. A parábola não cruza o eixo x — as soluções existem apenas no conjunto dos números complexos.
Por que o coeficiente a não pode ser zero?
Porque sem o termo x² a equação deixa de ser do 2º grau e vira do 1º grau, resolvida por simples isolamento.
Como achar o vértice da parábola?
O x do vértice é −b/2a e o y é −Δ/4a. É o ponto de mínimo quando a é positivo e de máximo quando a é negativo.
Como conferir se as raízes estão certas?
Pelas relações de Girard: a soma das raízes deve ser −b/a e o produto deve ser c/a.
Existe outro jeito de resolver?
Sim. Soma e produto, completar quadrados e fatoração funcionam em muitos casos. Bhaskara é o método universal, que resolve qualquer equação do 2º grau.
Fontes e transparência
Metodologia revisada e conteúdo atualizado em . Versão do cálculo: 1.0.0.