Calculadora de Combinação, Arranjo e Permutação
Calcule combinações, arranjos, permutações e fatoriais com a fórmula aberta.
Seus dados
Existem 50.063.860 formas de escolher 6 entre 60 elementos quando a ordem não importa. Se a ordem importasse, seriam 36.045.979.200 — a diferença é exatamente 6!, o número de maneiras de embaralhar os escolhidos.
Memória de cálculo
C(n,p) = n! ÷ [p! × (n − p)!]
- 1Calcular os fatoriais60! = 8.320987e+81, 6! = 720, 54! = 2.308437e+71
- 2Aplicar a fórmula da combinação8.320987e+81 ÷ (720 × 2.308437e+71) = 50.063.860
A pergunta que separa combinação de arranjo é simples: trocar a ordem gera um resultado diferente? Numa senha, sim — é arranjo. Numa comissão de três pessoas, não — é combinação. Por convenção, 0! vale 1, o que faz as fórmulas continuarem válidas nos casos extremos. Acima de 18! o resultado ultrapassa o inteiro exato do JavaScript e passa a ser aproximado nos últimos dígitos.
Como calcular a análise combinatória passo a passo
- 1
Decida se a ordem importa
Trocar a posição dos escolhidos cria um caso novo? Se sim, é arranjo.
- 2
Informe o total e a escolha
n é o total disponível; p é quantos serão selecionados.
- 3
Compare com a outra contagem
O resultado sempre mostra o outro número, para conferir o raciocínio.
A pergunta que resolve o problema
Quase todo erro em análise combinatória vem de escolher a fórmula errada, e não de errar a conta. O teste é único: se eu trocar dois dos escolhidos de lugar, tenho um resultado diferente?
Escolher três pessoas para uma comissão — João, Maria e Ana é a mesma comissão em qualquer ordem: combinação. Escolher presidente, vice e tesoureiro entre as mesmas três — a ordem define o cargo: arranjo.
Por que a combinação divide por p!
O arranjo conta todas as ordens possíveis dos escolhidos. Se p elementos podem ser embaralhados de p! maneiras, e todas elas representam a mesma combinação, então a combinação é o arranjo dividido por p!.
Com 10 elementos escolhendo 3: o arranjo dá 720 e a combinação, 120. A razão é exatamente 6, que é 3!. Entender essa divisão dispensa decorar as duas fórmulas separadamente.
- Arranjo: A(n,p) = n! ÷ (n − p)!
- Combinação: C(n,p) = n! ÷ [p! × (n − p)!]
- Permutação: P(n) = n!, que é o arranjo de todos
- Combinação = arranjo ÷ p!
A conta da mega-sena
Na mega-sena escolhem-se 6 números entre 60, e a ordem do sorteio não importa. É combinação: C(60,6) = 50.063.860 resultados possíveis.
Com um único jogo, a chance é de uma em cinquenta milhões. Jogar sete dezenas em vez de seis multiplica a chance por sete, mas o custo sobe também — e a probabilidade continua na casa de uma em sete milhões.
0! é igual a 1
Parece arbitrário, mas é o que mantém as fórmulas coerentes. C(n,n) deve valer 1 — só existe uma forma de escolher todos os elementos —, e a fórmula só produz esse resultado se 0! for 1.
A leitura combinatória ajuda: 0! conta de quantas maneiras se pode ordenar o conjunto vazio, e a resposta é uma, a maneira de não colocar nada em lugar nenhum.
Combinação e arranjo lado a lado
| n e p | Arranjo A(n,p) | Combinação C(n,p) | Razão (p!) |
|---|---|---|---|
| n=5, p=2 | 20 | 10 | 2 |
| n=10, p=3 | 720 | 120 | 6 |
| n=20, p=4 | 116.280 | 4.845 | 24 |
| n=52, p=5 | 311.875.200 | 2.598.960 | 120 |
| n=60, p=6 | 36.045.979.200 | 50.063.860 | 720 |
Fonte: A razão entre arranjo e combinação é sempre p!, o número de maneiras de embaralhar os escolhidos.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre arranjo e combinação?
No arranjo a ordem importa; na combinação, não. O arranjo é sempre maior, exatamente p! vezes a combinação.
Quantos jogos possíveis tem a mega-sena?
50.063.860, que é a combinação de 60 números tomados 6 a 6. A ordem do sorteio não importa.
O que é fatorial?
O produto de todos os inteiros positivos até o número: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Conta de quantas formas se pode ordenar n elementos.
Por que 0! é igual a 1?
Por convenção que mantém as fórmulas coerentes. Combinatoriamente, há exatamente uma maneira de ordenar o conjunto vazio.
Quando usar permutação?
Quando todos os elementos são ordenados, sem seleção. Formar filas com todas as pessoas do grupo, por exemplo.
Por que números grandes aparecem em notação científica?
Acima de 18! o resultado ultrapassa o inteiro exato que o JavaScript representa, e o valor passa a ser aproximado nos últimos dígitos.
Fontes e transparência
- Análise combinatória — princípios de contagem
Metodologia revisada e conteúdo atualizado em . Versão do cálculo: 1.0.0.